阶乘（factorial）是基斯顿·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）于1808年发明的运算符号 [1].正整数的阶乘定义为所有小于及等于该数的正整数的积，记为n!，例如5的阶乘表示为5!，其值为120：5!=1×2×3×4×5=120.
特别地，定义1!=1，0!=1.
阶乘运算满足递推公式n!=n·(n-1)!，除了自然数之外，阶乘亦可定义于整个实数（负整数除外），此时一般称其为伽玛函数.
阶乘被应用在许多数学领域中，最常应用在组合数学、代数学和数学分析中.在组合数学中，阶乘代表的意义为几个相异对象任意排列的数量，例如5!=120代表了5个相异对象共有120种排列法.在正整数的情形下，n的阶乘即组合数学中n的排列数.
- 中文名
- 阶乘
- 外文名
- factorial
- 所属学科
- 数学
- 提出者
- 基斯顿卡曼（Christian Kramp）
- 发明时间
- 1808年
早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的纪录 [2].今天使用的符号是由法国数学家基斯顿·卡曼于1808年引入的. [1]
用连乘积符号可以表示为：
从上述公式中，可以推导出递推关系式：
例：
为了将递推关系式扩展到
因此由递推公式可以得到：
有几种独立的理由认为这个定义是和谐的：
1.当
2．在组合数学中，对0个物品只有一种排列方式，即0个物品的全排列
3，同样，在空集合中选择0个元素组成不同组的方法只有一种，即
注：
4.考虑r函数在
阶乘函数的性质众多，这里只能简单列举几个常见的性质.
注：这里的约等号事实上并不严谨，对上述命题的严谨证明如下：
由关系式
但是，
因此当
由于当
另一个版本是使用奇数级指数函数来近似. [5]
整数的阶乘定义意味着
注：设
由此可推出
例1：求 100！中 3 的指数.
解：
例2： 
对非负整数
若
有无限多的阶乘等于其他阶乘的乘积，如果$n$ 本身就是阶乘的乘积，那么
当
更精确的估计是使用
#include<stdio.h>
int main(){
int n,x;
for(n=x=1;x<=10;++n){
x*=n;
}
printf("%d\t%d\n",n,x);
}
n | n! |
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
11 | 39916800 |
12 | 479001600 |
13 | 6227020800 |
14 | 87178291200 |
15 | 1307674368000 |
16 | 20922789888000 |
17 | 355687428096000 |
18 | 6402373705728000 |
19 | 121645100408832000 |
20 | 2432902008176640000 |
25 | 1.551121004×1025 |
50 | 3.041409320×1064 |
70 | 1.197857167×10100 |
100 | 9.332621544×10157 |
450 | 1.733368733×101000 |
1000 | 4.023872601×102567 |
3249 | 6.412337688×1010000 |
10000 | 2.846259681×1035659 |
25206 | 1.205703438×10100000 |
100000 | 2.824229408×10456573 |
205023 | 2.503898932×101000004 |
1000000 | 8.263931688×105565708 |
10100 |  |
有无限多的方法可以将阶乘延拓成一个连续函数，最广泛使用的一种形式是Γ函数（gamma function）。
除了非负整数之外，还可以为非整数值定义阶乘函数，但这需要使用更高级的数值分析方法.
称特殊函数
a.定义域
由于Γ函数仅当
于是Γ函数定义域为
b.光滑性和导数形式
Γ函数是无限次可微的，且
c.递推公式
Γ函数的递推公式如下：
d.欧拉-高斯公式
通常称下面的等式
为欧拉-高斯公式.
e.余元公式
当时，称Γ函数的自变量α与1-α是互余的，因此等式
f.Beta函数与gamma函数的联系
例1：
注意到
注：
函数图像Γ函数也可以解析延拓到复数的半平面
事实上，Γ函数在整个复平面
Γ函数在ℂ上仍然满足5.1部分的性质全部性质，此处不再赘述 [9].
复数域函数图像自然数的双阶乘用表示.双阶乘表示不超过n且与n有相同奇偶性的所有正整数的乘积.若n是自然数，则
例：
递进阶乘：
递降阶乘：
Hyperfactorial（有时译作过阶乘）定义为
超阶乘（superfactorial）有两种定义，一个是Sloane和Plouffe的定义.
自然数n的超阶乘的定义为
另一个定义是柯利弗德·皮寇弗（CliffordA. Pickover）在他的书Keys to Infinity中提出的
素数阶乘（primorial）是所有小于或等于该数且大于或等于2的素数的积，自然数n的素数阶乘，写作n#.
其中
阶幂（Exponential factorial）也称叠幂或者重幂. 它的定义是将自然数1至n的数由大到小作幂指数重叠排列：
交替阶乘（Subfactorial）的定义为对n个物体进行置换（排列），其中没有物体出现在其自然位置的排列的个数（即derangements），写作
